4. Методы решения систем нелинейных уравнений - Конспект лекций Чебоксары 2006 удк 004 Составитель: В. Г. Медведев...
.RU

4. Методы решения систем нелинейных уравнений - Конспект лекций Чебоксары 2006 удк 004 Составитель: В. Г. Медведев...


^ 4. Методы решения систем нелинейных уравнений.
Для решения систем нелинейных уравнений нельзя использовать прямые методы и поэтому все рассматриваемые методы решения СНУ являются итерационными. В общем виде СНУ:




Задача заключается в отыскании всех неизвестных .


^ 4.1. Метод итераций Данный метод аналогичен методу Зейделя для решения СНУ:


Используются исходные значения xi и т.д. как в методе Зейделя:

  1. выбор начальных приближений  - шаг итерации;

  2. вычисление новых значений , ;

  3. сравнивается два соседних значения .

Если условие не выполняется, заменяем все значения на и переход на шаг 2, иначе вывод результата и конец вычислений.

Вычисления проводятся по следующим формулам:

,

,

.

W= и .

Полная итерационная формула для нахождения неизвестных :

.

Пример 4.1.

Методом итерации решить систему:

(А)

с точностью до .

Приведем систему к виду

(Б)

Система (Б) имеет единственное решение, заключенное в области:



Проверим систему (Б) на сходимость итерационного процесса:

; ;

; .

Следовательно,

, .

Условия сходимости выполняются. Последовательные приближения найдем по формулам

;

.

Выберем , .

Вычисления сведены в таблицу.















0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.15

0.1616

0.1508

0.1539

0.1510

0.1519

0.1510

0.1513

0.1510

-2

-2.035

-2.0245

-2.0342

-2.0313

-2.0341

-2.0333

-2.0341

-2.0340

-0.45

-0.4384

-0.4492

-0.4461

-0.4490

-0.4481

-0.4490

-0.4487

-0.4350

-0.4245

-0.4342

0.4313

-0.4341

-0.4333

-0.4341

-0.4340

-0.4161

-0.4477

-0.4382

-0.4470

-0.4444

-0.4469

-0.4461

-0.4469

-0.1384

-0.1492

-0.1461

-0.1490

-0.1481

-0.1490

-0.1487

-0.1490

Т.о.,
4.2 Метод Ньютона. Этот метод является очень распространенным, осуществляет более быструю сходимость, чем метод простой итерации.
Вначале все уравнения разлагают в ряд Тейлора:



где –шаг изменения : , -элементы частной


производной или Якобиан. Если такие, что функция принимает значения близкие к корню, то левые части матрицы ряда Тейлора приравниваются к нулю.

Задача заключается в том, чтобы отыскать такие , при которых левая часть равна нулю. Дальше составляется система линейных уравнений:

.

В этой системе матрица частных производных называется матрицей Якоби, в которой каждый элемент называется якобианом.

Матрицу Якоби и значение правой части системы можно использовать для любого приближенного вычисления. Решая эту систему, находим , которое подставляется в исходную, это поправка следующего значения . Если все , то конец. Если процесс не сходится, то используем относительную погрешность .

Пример 4.2.

Методом Ньютона решить систему нелинейных уравнений:




Система имеет два решения. Уточним одно из них, принадлежащее области ; .

За начальное приближение примем ; . Далее находим:

; ;

; ; ; .










































0

0.5

0.25

0.5.

2.25

-0.1052

2

-8.76

48.32

3.6612

0.0749

-0.46

0.6348

-0.6052

-2.6348

-0.3848

5

2.76

0.2436

0.0050

1

0.5749

0.3306

0.6612

2.6302

0.0222

2.2996

-8.7300

51.2357

-0.1409

-0.0027

-0.4550

0.6210

-0.6490

-2.6210

0.0092

5.1498

2.7300

1.1221

0.021

2

0.5722

0.3272

0.6544

2.6160

-0.1864

2.2888

-8.6040

50.2224

0.0483

0.0009

-0.4340

0.5652

-0.8308

-2.5652

0.0508

5.1444

2.6040

-1.9751

0.039

3

0.5731

0.3283

0.6566

2.6207

0.1666

2.2924

-8.8380

52.0079

-0.0374

-0.0007

-0.4730

0.6711

-0.4900

-2.6411

-0.0504

5.1462

2.8380

0.9728

0.0180

4

0.5724

0.3272

0.6544

2.6160

0.0054

2.2896

-8.73

51.1647

0.0290

0.0005

-0.4550

0.6210

-0.6490

-2.6210

-0.0050

5.1448

2.73

0.0490

0.0009

5

0.5729




























-0.4541
Вычисление удобно вести с помощью таблицы. Окончательно ответ: , .


4-principi-uchetnoj-politiki-otchet-o-finansovom-polozhenii-po-sostoyaniyu-za-31-dekabrya-2009-goda-5-otchet-o-pribilyah.html
4-principi-uchyotnoj-politiki-kommercheskogo-banka-novij-vek.html
4-priroda-sverhprovodimosti-energetiki.html
4-problema-nauchnoj-istini-uchebnoe-posobie-rekomendovano-ministerstvom-obshego-i-professionalnogo-obrazovaniya.html
4-problemi-idei-gipotezi-e-p-kruglyakov-otv-redaktor.html
4-procedura-i-osnovnie-harakteristiki-psihologicheskogo-eksperimenta-eksperimentalnaya-psihologiya.html
  • holiday.bystrickaya.ru/oao-drsk-monitoring-sredstv-massovoj-informacii-19-avgusta-2011-goda.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/prilozhenie-ix16-bazelskaya-konvenciya-o-kontrole.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/relejnij-zahist.html
  • holiday.bystrickaya.ru/obemnie-i-centrobezhnie-gidravlicheskie-mashini-princip-raboti-gidroprivoda.html
  • report.bystrickaya.ru/kniga-voronezhskogo-istorika-s-v-hatunceva.html
  • textbook.bystrickaya.ru/k-nalogovomu-kodeksu-rossijskoj-federacii-stranica-13.html
  • tests.bystrickaya.ru/metodicheskie-rekomendacii-metodicheskie-rekomendacii-o-poryadke-videleniya-za-schet-byudzhetnih-assignovanij-iz-byudzheta.html
  • university.bystrickaya.ru/g-g-matveeva-aktualizaciya-pragmaticheskogo-aspekta-nauchnogo-teksta-izdatelstvo-rostovskogo-universiteta-1984-132-s.html
  • esse.bystrickaya.ru/pronozirovanie-finansovogo-sostoyaniya-i-diagnostika-bankrotstva.html
  • urok.bystrickaya.ru/prilozhenie-1--klassifikaciya-operativnoj-pamyati-ozu-uchebnoe-posobie-po-kursu-organizaciya-evm-kompleksov-i-setej-chast.html
  • shkola.bystrickaya.ru/obzor-i-analiz-tehnologij-uborki-zernovih-kultur-razlichnimi-sposobami.html
  • universitet.bystrickaya.ru/tema-struktura-dannih-na-magnitnih-diskah-plan-konspekt-uroka-prezentaciya-k-uroku-dopolnitelnij-material.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/kurs-lekcij-uchebno-teoreticheskoe-izdanie-sovokupnost-otdelnih-lekcij-polnostyu-osveshayushee-soderzhanie-uchebnoj-disciplini-otrazhaet-material-chitaemij-opredelennim-prepodavatelem-cel-kursa-lekcij.html
  • turn.bystrickaya.ru/polozhenie-o-provedenii-municipalnogo-konkursa-socialno-znachimih-proektov.html
  • tasks.bystrickaya.ru/3-otvetnie-repliki-s-otricatelnoj-chasticej-zamestitelem-not-p-a-afanasev-strukturno-semanticheskie-tipi.html
  • textbook.bystrickaya.ru/iv-principi-ocenivaniya-pismennoj-kursovoj-i-vipusknoj-kvalifikacionnoj-raboti.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/vozdushnij-kodeks-chast-7.html
  • abstract.bystrickaya.ru/-4-sudebnaya-i-arbitrazhnaya-praktika-kurs-mezhdunarodnogo-chastnogo-prava-obshaya-chast-m-1973-s-11-60-lunc.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/uroki-angelini-stranica-4.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/otnosheniya-mezhdu-ego-i-bessoznatelnim-a-zajcev-zam-zav-psihologicheskoj-redakciej-n-migalovskaya-vedushij-redaktor.html
  • universitet.bystrickaya.ru/teoriya-holodnogo-yadernogo-sinteza-reshena-problema-globalnoj-energetiki-termoyadernij-reaktor-na-sharovoj-molnii-shema-chertezhi-metodika-zapuska-i-raboti-grinev-vladimir-timofeevich-stranica-6.html
  • student.bystrickaya.ru/17-problema-zhanra-i-avtorstva-slova-velichie-rus-zemli-kot-nado-zashishat-drl-sohr-sobitiya-i-imena.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/9-pena-v-gidrobake-prichina-samohodnih-mashin.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/u-proekt-tverzhden.html
  • teacher.bystrickaya.ru/glava-2-internet-tehnologii-v-formirovanii-uchebno-issledovatelskoj-kulturi-uchashihsya-profilnih-klassov.html
  • desk.bystrickaya.ru/otelnij-institut-v-prage.html
  • education.bystrickaya.ru/-2-addiktivnoe-povedenie-sotrudnikov-ovd-uchebno-metodicheskoe-posobie-moskva-2008-psihologicheskoe-obespechenie.html
  • znanie.bystrickaya.ru/alekseev-sergej-sokrovisha-valkirii-kniga-1-stranica-6.html
  • university.bystrickaya.ru/fakultet-matematiki-i-informacionnih-tehnologij.html
  • write.bystrickaya.ru/forma-protokola-sertifikacionnih-ispitanij-elektricheskoj-energii-po-pokazatelyam-kachestva.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/regionalnie-mezhdunarodnie-organizacii-kak-subekti-mezhdunarodnogo-prava.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-uchebnoj-disciplini-kompyuternie-tehnologii-napravlenie-podgotovki.html
  • doklad.bystrickaya.ru/v-buryatii-gorel-dom-prestarelih-i-invalidov-informacionnoe-agentstvo-interfaks-16022011.html
  • klass.bystrickaya.ru/abandon-otkaz-strahovatelya-ot-svoih-prav-na-zastrahovannoe-imushestvo-v-polzu-strahovshika-pri-obyazatelstve-poslednego-uplatit-strahovatelyu-polnuyu-strahovuyu-stranica-5.html
  • studies.bystrickaya.ru/kollizionnie-normi-chast-4.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.