.RU

4. Методы решения систем нелинейных уравнений - Конспект лекций Чебоксары 2006 удк 004 Составитель: В. Г. Медведев...


^ 4. Методы решения систем нелинейных уравнений.
Для решения систем нелинейных уравнений нельзя использовать прямые методы и поэтому все рассматриваемые методы решения СНУ являются итерационными. В общем виде СНУ:




Задача заключается в отыскании всех неизвестных .


^ 4.1. Метод итераций Данный метод аналогичен методу Зейделя для решения СНУ:


Используются исходные значения xi и т.д. как в методе Зейделя:

  1. выбор начальных приближений  - шаг итерации;

  2. вычисление новых значений , ;

  3. сравнивается два соседних значения .

Если условие не выполняется, заменяем все значения на и переход на шаг 2, иначе вывод результата и конец вычислений.

Вычисления проводятся по следующим формулам:

,

,

.

W= и .

Полная итерационная формула для нахождения неизвестных :

.

Пример 4.1.

Методом итерации решить систему:

(А)

с точностью до .

Приведем систему к виду

(Б)

Система (Б) имеет единственное решение, заключенное в области:



Проверим систему (Б) на сходимость итерационного процесса:

; ;

; .

Следовательно,

, .

Условия сходимости выполняются. Последовательные приближения найдем по формулам

;

.

Выберем , .

Вычисления сведены в таблицу.















0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.15

0.1616

0.1508

0.1539

0.1510

0.1519

0.1510

0.1513

0.1510

-2

-2.035

-2.0245

-2.0342

-2.0313

-2.0341

-2.0333

-2.0341

-2.0340

-0.45

-0.4384

-0.4492

-0.4461

-0.4490

-0.4481

-0.4490

-0.4487

-0.4350

-0.4245

-0.4342

0.4313

-0.4341

-0.4333

-0.4341

-0.4340

-0.4161

-0.4477

-0.4382

-0.4470

-0.4444

-0.4469

-0.4461

-0.4469

-0.1384

-0.1492

-0.1461

-0.1490

-0.1481

-0.1490

-0.1487

-0.1490

Т.о.,
4.2 Метод Ньютона. Этот метод является очень распространенным, осуществляет более быструю сходимость, чем метод простой итерации.
Вначале все уравнения разлагают в ряд Тейлора:



где –шаг изменения : , -элементы частной


производной или Якобиан. Если такие, что функция принимает значения близкие к корню, то левые части матрицы ряда Тейлора приравниваются к нулю.

Задача заключается в том, чтобы отыскать такие , при которых левая часть равна нулю. Дальше составляется система линейных уравнений:

.

В этой системе матрица частных производных называется матрицей Якоби, в которой каждый элемент называется якобианом.

Матрицу Якоби и значение правой части системы можно использовать для любого приближенного вычисления. Решая эту систему, находим , которое подставляется в исходную, это поправка следующего значения . Если все , то конец. Если процесс не сходится, то используем относительную погрешность .

Пример 4.2.

Методом Ньютона решить систему нелинейных уравнений:




Система имеет два решения. Уточним одно из них, принадлежащее области ; .

За начальное приближение примем ; . Далее находим:

; ;

; ; ; .










































0

0.5

0.25

0.5.

2.25

-0.1052

2

-8.76

48.32

3.6612

0.0749

-0.46

0.6348

-0.6052

-2.6348

-0.3848

5

2.76

0.2436

0.0050

1

0.5749

0.3306

0.6612

2.6302

0.0222

2.2996

-8.7300

51.2357

-0.1409

-0.0027

-0.4550

0.6210

-0.6490

-2.6210

0.0092

5.1498

2.7300

1.1221

0.021

2

0.5722

0.3272

0.6544

2.6160

-0.1864

2.2888

-8.6040

50.2224

0.0483

0.0009

-0.4340

0.5652

-0.8308

-2.5652

0.0508

5.1444

2.6040

-1.9751

0.039

3

0.5731

0.3283

0.6566

2.6207

0.1666

2.2924

-8.8380

52.0079

-0.0374

-0.0007

-0.4730

0.6711

-0.4900

-2.6411

-0.0504

5.1462

2.8380

0.9728

0.0180

4

0.5724

0.3272

0.6544

2.6160

0.0054

2.2896

-8.73

51.1647

0.0290

0.0005

-0.4550

0.6210

-0.6490

-2.6210

-0.0050

5.1448

2.73

0.0490

0.0009

5

0.5729




























-0.4541
Вычисление удобно вести с помощью таблицы. Окончательно ответ: , .


4-principi-uchetnoj-politiki-otchet-o-finansovom-polozhenii-po-sostoyaniyu-za-31-dekabrya-2009-goda-5-otchet-o-pribilyah.html
4-principi-uchyotnoj-politiki-kommercheskogo-banka-novij-vek.html
4-priroda-sverhprovodimosti-energetiki.html
4-problema-nauchnoj-istini-uchebnoe-posobie-rekomendovano-ministerstvom-obshego-i-professionalnogo-obrazovaniya.html
4-problemi-idei-gipotezi-e-p-kruglyakov-otv-redaktor.html
4-procedura-i-osnovnie-harakteristiki-psihologicheskogo-eksperimenta-eksperimentalnaya-psihologiya.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/shrila-indradyumna-svami-dnevnik-stranstvuyushego-propovednika-tom-10-glava-4-fevral-2009-neprostoe-mesto.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/pravila-dlya-avtorov-stati-predlagaemie-k-publikacii-v-zhurnale-prohodyat-obyazatelnoe-recenzirovanie.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/press-reliz-opredeleni-pobediteli-pervogo-tura-respublikanskih-konkursov-detskogo-risunka-i-shkolnih-sochinenij-proshedshih-v-kazani.html
  • literatura.bystrickaya.ru/sostav-rojbos-karamel-kakao-opisanie-ul-minbaeva-47b-ofis-101-po-ul-auezova-vishe-pr-abaya-arka-za-kafe.html
  • lesson.bystrickaya.ru/mifi-o-sladkoj-trave-stevii.html
  • textbook.bystrickaya.ru/kniga-izdana-pri-finansovoj-podderzhke-rossijskogo-gumanitarnogo-nauchnogo-fonda-rasporyazhenie-rgnf-zh-96-4-6d24-stranica-19.html
  • write.bystrickaya.ru/gabriel-garsia-markes-nedobrij-chas-stranica-3.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/glava-2-ugrozi-bezopasnosti-informacii-abramov-v-a-torokin-a-a-t61-osnovi-inzhenerno-tehnicheskoj-zashiti-informacii.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/sutra-pomosta-shestogo-patriarha.html
  • essay.bystrickaya.ru/bohanskij-filial-konferencii.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-32-biografiya-hudozhnika-kak-kulturno-esteticheskaya-problema-krivcun-o-a-k-82-estetika-uchebnik.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/programma-disciplini-innovacionnij-menedzhment-i-upravlenie-innovacionnimi-proektami.html
  • thescience.bystrickaya.ru/knigata-sdrzha-oshe-stranica-11.html
  • textbook.bystrickaya.ru/istochniki-konstitucionnogo-prava-o-v-sidorenko-osnovi-konstitucionnogo-prava.html
  • school.bystrickaya.ru/bikadorov-yu-a-informatika-i-ikt-stranica-4.html
  • grade.bystrickaya.ru/mezhdunarodnaya-nauchno-prakticheskaya-konferenciya-novoe-v-tehnologii-i-oborudovanii-dlya-proizvodstva-gofrokartona-i-gofrotari.html
  • credit.bystrickaya.ru/otchet-o-nauchno-issledovatelskoj-rabote-stranica-9.html
  • college.bystrickaya.ru/17-inflyacionnie-ozhidaniya-i-ih-vidi-mehanizm-formirovaniya-inflyacionnih-ozhidanij.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/sovremennoe-mnogourovnevoe-obrazovanie-v-turcii.html
  • composition.bystrickaya.ru/p-l-a-n-grazhdanskoj-oboroni-vodoprovodnoj-stancii-s-l-dubrovin-iyunya-2005g.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/rabochaya-uchebnaya-programma-disciplini-dlya-studentov-syllabus-naimenovanie-disciplini-psihologicheskie-metodi-v-socialnoj-rabote.html
  • turn.bystrickaya.ru/po-zakonam-dobroti-i-otvetstvennosti-nekommercheskij-sektor-v-rossii-smozhet-razdelit-socialnie-obyazatelstva.html
  • universitet.bystrickaya.ru/uchebnij-plan-cikl-disciplin-naimenovanie-disciplini-v-sootvetstvii-s-uchebnim-planom-sostavitel-rpd-stranica-5.html
  • testyi.bystrickaya.ru/453-dvizhenie-po-igram-i-r-a-3-d-e-l-4-knigi-kronina-s-i-rezhissura-socialnih-igr-bazovie-igri-cheloveka.html
  • credit.bystrickaya.ru/otchet-po-upravlencheskoj-praktike-v-turfirme-chast-5.html
  • studies.bystrickaya.ru/kommanditnie-obshestva.html
  • thescience.bystrickaya.ru/izveshenie-ot-03-dekabrya-2008-g-6-municipalnogo-uchrezhdeniya-gorodskaya-biblioteka-o-provedenii-zaprosa-kotirovok-na-pravo-zaklyucheniya-municipalnogo-kontrakta-na-postavku-knizhnoj-produkcii.html
  • assessments.bystrickaya.ru/domashnee-zadanie-18-lekciya-1-19-kniga-bitie-19-vremena-patriarhov-dopotopnoe-vremya-19-period-pervij-ot-sotvoreniya-mira-do-potopa-19-stranica-30.html
  • literature.bystrickaya.ru/dlya-psihologov-i-pedagogov.html
  • learn.bystrickaya.ru/geologicheskaya-rol-zhivogo-veshestva-osnovana-na-ego-geohimicheskih-funkciyah-kotorie-sovremennaya-nauka-klassificiruet-po-pyati-kategoriyam.html
  • uchit.bystrickaya.ru/tema-zasedaniya-logistika-na-transporte.html
  • tests.bystrickaya.ru/kratkie-svedeniya-ob-aleksandrijskom-antiohijskom-i-ierusalimskom-patriarhatah-a-p-lebedev-istoriya-grekovostochnoj-cerkvi-pod-vlastyu-turok.html
  • lecture.bystrickaya.ru/742005-otdelnie-napravleniya-vospitaniya-shkolnikov-g-ya-fetisova-redaktor-bibliograficheskogo-opisaniya.html
  • testyi.bystrickaya.ru/a-v-simonenko-muzej-istorii-donskogo-kazachestva.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/razdel-iv-the-royal-uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-gse-f-01-inostrannij-yazik-anglijskij-kod.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.