.RU

4. Методы решения систем нелинейных уравнений - Конспект лекций Чебоксары 2006 удк 004 Составитель: В. Г. Медведев...


^ 4. Методы решения систем нелинейных уравнений.
Для решения систем нелинейных уравнений нельзя использовать прямые методы и поэтому все рассматриваемые методы решения СНУ являются итерационными. В общем виде СНУ:




Задача заключается в отыскании всех неизвестных .


^ 4.1. Метод итераций Данный метод аналогичен методу Зейделя для решения СНУ:


Используются исходные значения xi и т.д. как в методе Зейделя:

  1. выбор начальных приближений  - шаг итерации;

  2. вычисление новых значений , ;

  3. сравнивается два соседних значения .

Если условие не выполняется, заменяем все значения на и переход на шаг 2, иначе вывод результата и конец вычислений.

Вычисления проводятся по следующим формулам:

,

,

.

W= и .

Полная итерационная формула для нахождения неизвестных :

.

Пример 4.1.

Методом итерации решить систему:

(А)

с точностью до .

Приведем систему к виду

(Б)

Система (Б) имеет единственное решение, заключенное в области:



Проверим систему (Б) на сходимость итерационного процесса:

; ;

; .

Следовательно,

, .

Условия сходимости выполняются. Последовательные приближения найдем по формулам

;

.

Выберем , .

Вычисления сведены в таблицу.















0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.15

0.1616

0.1508

0.1539

0.1510

0.1519

0.1510

0.1513

0.1510

-2

-2.035

-2.0245

-2.0342

-2.0313

-2.0341

-2.0333

-2.0341

-2.0340

-0.45

-0.4384

-0.4492

-0.4461

-0.4490

-0.4481

-0.4490

-0.4487

-0.4350

-0.4245

-0.4342

0.4313

-0.4341

-0.4333

-0.4341

-0.4340

-0.4161

-0.4477

-0.4382

-0.4470

-0.4444

-0.4469

-0.4461

-0.4469

-0.1384

-0.1492

-0.1461

-0.1490

-0.1481

-0.1490

-0.1487

-0.1490

Т.о.,
4.2 Метод Ньютона. Этот метод является очень распространенным, осуществляет более быструю сходимость, чем метод простой итерации.
Вначале все уравнения разлагают в ряд Тейлора:



где –шаг изменения : , -элементы частной


производной или Якобиан. Если такие, что функция принимает значения близкие к корню, то левые части матрицы ряда Тейлора приравниваются к нулю.

Задача заключается в том, чтобы отыскать такие , при которых левая часть равна нулю. Дальше составляется система линейных уравнений:

.

В этой системе матрица частных производных называется матрицей Якоби, в которой каждый элемент называется якобианом.

Матрицу Якоби и значение правой части системы можно использовать для любого приближенного вычисления. Решая эту систему, находим , которое подставляется в исходную, это поправка следующего значения . Если все , то конец. Если процесс не сходится, то используем относительную погрешность .

Пример 4.2.

Методом Ньютона решить систему нелинейных уравнений:




Система имеет два решения. Уточним одно из них, принадлежащее области ; .

За начальное приближение примем ; . Далее находим:

; ;

; ; ; .










































0

0.5

0.25

0.5.

2.25

-0.1052

2

-8.76

48.32

3.6612

0.0749

-0.46

0.6348

-0.6052

-2.6348

-0.3848

5

2.76

0.2436

0.0050

1

0.5749

0.3306

0.6612

2.6302

0.0222

2.2996

-8.7300

51.2357

-0.1409

-0.0027

-0.4550

0.6210

-0.6490

-2.6210

0.0092

5.1498

2.7300

1.1221

0.021

2

0.5722

0.3272

0.6544

2.6160

-0.1864

2.2888

-8.6040

50.2224

0.0483

0.0009

-0.4340

0.5652

-0.8308

-2.5652

0.0508

5.1444

2.6040

-1.9751

0.039

3

0.5731

0.3283

0.6566

2.6207

0.1666

2.2924

-8.8380

52.0079

-0.0374

-0.0007

-0.4730

0.6711

-0.4900

-2.6411

-0.0504

5.1462

2.8380

0.9728

0.0180

4

0.5724

0.3272

0.6544

2.6160

0.0054

2.2896

-8.73

51.1647

0.0290

0.0005

-0.4550

0.6210

-0.6490

-2.6210

-0.0050

5.1448

2.73

0.0490

0.0009

5

0.5729




























-0.4541
Вычисление удобно вести с помощью таблицы. Окончательно ответ: , .


4-principi-uchetnoj-politiki-otchet-o-finansovom-polozhenii-po-sostoyaniyu-za-31-dekabrya-2009-goda-5-otchet-o-pribilyah.html
4-principi-uchyotnoj-politiki-kommercheskogo-banka-novij-vek.html
4-priroda-sverhprovodimosti-energetiki.html
4-problema-nauchnoj-istini-uchebnoe-posobie-rekomendovano-ministerstvom-obshego-i-professionalnogo-obrazovaniya.html
4-problemi-idei-gipotezi-e-p-kruglyakov-otv-redaktor.html
4-procedura-i-osnovnie-harakteristiki-psihologicheskogo-eksperimenta-eksperimentalnaya-psihologiya.html
  • essay.bystrickaya.ru/bogi-i-inoplanetyane-na-drevnem-vostoke.html
  • znanie.bystrickaya.ru/bazhin-vladimir-vasilevich-joshkar-olinskaya-i-marijskaya-eparhiya.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-uchebnoj-disciplini-modulya-osnovi-rechevoj-kulturi-defektologa-b-5.html
  • lesson.bystrickaya.ru/starij-oskol-v-godi-velikoj-otechestvennoj-vojni.html
  • student.bystrickaya.ru/3-termika-gidrosferi-fakultet-geograficheskij-kafedra-geoekologii-i-landshaftnogo-planirovaniya-uchebno-metodicheskij.html
  • nauka.bystrickaya.ru/vipuskayushij-redaktor-v-zemskih-redaktor-n-fedorova-hudozhestvennij-redaktor-r-yacko-verstka-t-petrova-korrektori-m-odinokova-m-shukina-bbk-65-290-214-stranica-17.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/kak-mi-s-vami-i-dogovarivalis-eto-zasedanie-gosudarstvennogo-soveta-posvyasheno-voprosam-molodyozhnoj-politiki-ya-ne-budu-estestvenno-govorit-banalnosti-o-tom-stranica-3.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/vhodnoe-anketirovanie-i-testirovanie-slushatelya.html
  • crib.bystrickaya.ru/kalendarno-tematicheskij-plan-dlya-6-klassov-po-istorii-rossii-orientirovan-na-ispolzovanie-uchebnika-istoriya-rossii-sdrevnejshih-vremen-do-konca-xvi-v-a-a-danilova-stranica-10.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-96-kameralnij-kontrol-statya-nalogovoe-zakonodatelstvo-respubliki-kazahstan.html
  • books.bystrickaya.ru/ekogeomonitoring-lekciya-1.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/urovni-osvoeniya-programmi-4-goda-programma-razvitiya-i-vospitaniya-detej-v-detskom-sadu-izdanie-3-e-pererabotannoe.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/volzhskoe-otdelenie-instituta-geologii-i-razrabotki-goryuchih-iskopaemih-fgup-voig-i-rgi-stranica-8.html
  • kanikulyi.bystrickaya.ru/z-a-b-o-l-e-v-a-n-i-ya-u-h-a-otorinolaringologiya-dlya-vrachej-obshej-praktiki.html
  • books.bystrickaya.ru/eksperiment-ne-udalsya-r-kadirov-zabota-ob-invalidah-eto-nasha-svyataya-obyazannost.html
  • spur.bystrickaya.ru/kurs-teoreticheskie-voprosi-na-ekzamen.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/zadachi-obuchayushie-formirovat-umeniya-analiza-epicheskogo-proizvedeniya-ponimanie-priyomov-sozdaniya-komicheskogo-zakrepit-znachenie-ryada-terminov-razvivayushie.html
  • studies.bystrickaya.ru/22-ispolzovanie-k-pentabde-programma-organizacii-obedinennih-nacij-po-okruzhayushej-srede-distr-general.html
  • klass.bystrickaya.ru/4usloviya-realizacii-programmi-professionalnogo-modulya-primernaya-programma-professionalnogo-modulya-pm-05.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/prostranstvo-kak-forma-vzaimodejstvij-kniga-peremen-i-ee-kategorii.html
  • knigi.bystrickaya.ru/regionalnaya-politika-respubliki-napravlena-na-ekonomicheskie-i-socialnie-preobrazovaniya-neotemlemoj-chastyu-kotorih-yavlyaetsya-effektivnost-sistemi-mediko-socialnoj-pomoshi-naseleniyu-v-tom-chisle-detyam.html
  • grade.bystrickaya.ru/municipalnoe-obsheobrazovatelnoe-uchrezhdenie-srednyaya-obsheobrazovatelnaya-shkola-48-elektivnij-kurs-elementi-teorii-operatorov-vipusknaya-kvalifikacionnaya-rabota.html
  • nauka.bystrickaya.ru/vibor-meropriyatij-napravlennih-na-povishenie-bezopasnosti-dorozhnogo-dvizheniya-avtomobili-i-avtomobilnoe-hozyajstvo.html
  • essay.bystrickaya.ru/d-n-znamenskij-30-avgusta-2010-stranica-8.html
  • desk.bystrickaya.ru/p-f-anisimov-mezhdunarodnaya-konferenciya-po-voprosam-deinstitucionalizacii-detej-sirot-i-detej-ostavshihsya-bez-popecheniya-roditelej-informacionnoe-pismo.html
  • nauka.bystrickaya.ru/vnebyudzhetnie-fondi-i-centralnij-bank-rossijskoj-federacii.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/words-essay-research-paper-what-is-a.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/s-v-krichevskij-realizaciya-principa-nenasiliya-pn-imeet-vazhnejshee-znachenie-dlya-bezopasnosti-i-razvitiya-rossii-vsego-mirovogo-soobshestva-v-sfere-osvoeniya-kosmosa-osushestvleniya-kosmicheskoj-deyatelnosti-kd.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-disciplini-delovoj-inostrannij-yazik.html
  • turn.bystrickaya.ru/palomnichestvo-kak-faktor-sociokulturnoj-i-politicheskoj-istorii-indii-x-xx-vv.html
  • books.bystrickaya.ru/bolshoj-kulinarnij-slovar-stranica-12.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/kursovaya-rabota-yavlyaetsya-odnim-iz-vazhnejshih-etapov-uchebnogo-processa-grafiki-napisaniya-i-sdachi-kursovih-rabot-sostavlyayutsya-i-utverzhdayutsya-prepodavatelem.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/metodicheskie-rekomendacii-k-izucheniyu-kursa-psihologiya-i-pedagogika-dlya-studentov-ochnogo-i-zaochnogo-otdeleniya.html
  • lecture.bystrickaya.ru/511trebovaniya-k-podsisteme-registraciya-kulturnih-cennostej-vvozimih-i-vremenno-vvozimih-na-territoriyu-rossijskoj-federacii.html
  • exam.bystrickaya.ru/vizantiya-xi-i-xii-vv-novoe-protiv-starogo.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.