.RU

4. Методы решения систем нелинейных уравнений - Конспект лекций Чебоксары 2006 удк 004 Составитель: В. Г. Медведев...


^ 4. Методы решения систем нелинейных уравнений.
Для решения систем нелинейных уравнений нельзя использовать прямые методы и поэтому все рассматриваемые методы решения СНУ являются итерационными. В общем виде СНУ:




Задача заключается в отыскании всех неизвестных .


^ 4.1. Метод итераций Данный метод аналогичен методу Зейделя для решения СНУ:


Используются исходные значения xi и т.д. как в методе Зейделя:

  1. выбор начальных приближений  - шаг итерации;

  2. вычисление новых значений , ;

  3. сравнивается два соседних значения .

Если условие не выполняется, заменяем все значения на и переход на шаг 2, иначе вывод результата и конец вычислений.

Вычисления проводятся по следующим формулам:

,

,

.

W= и .

Полная итерационная формула для нахождения неизвестных :

.

Пример 4.1.

Методом итерации решить систему:

(А)

с точностью до .

Приведем систему к виду

(Б)

Система (Б) имеет единственное решение, заключенное в области:



Проверим систему (Б) на сходимость итерационного процесса:

; ;

; .

Следовательно,

, .

Условия сходимости выполняются. Последовательные приближения найдем по формулам

;

.

Выберем , .

Вычисления сведены в таблицу.















0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.15

0.1616

0.1508

0.1539

0.1510

0.1519

0.1510

0.1513

0.1510

-2

-2.035

-2.0245

-2.0342

-2.0313

-2.0341

-2.0333

-2.0341

-2.0340

-0.45

-0.4384

-0.4492

-0.4461

-0.4490

-0.4481

-0.4490

-0.4487

-0.4350

-0.4245

-0.4342

0.4313

-0.4341

-0.4333

-0.4341

-0.4340

-0.4161

-0.4477

-0.4382

-0.4470

-0.4444

-0.4469

-0.4461

-0.4469

-0.1384

-0.1492

-0.1461

-0.1490

-0.1481

-0.1490

-0.1487

-0.1490

Т.о.,
4.2 Метод Ньютона. Этот метод является очень распространенным, осуществляет более быструю сходимость, чем метод простой итерации.
Вначале все уравнения разлагают в ряд Тейлора:



где –шаг изменения : , -элементы частной


производной или Якобиан. Если такие, что функция принимает значения близкие к корню, то левые части матрицы ряда Тейлора приравниваются к нулю.

Задача заключается в том, чтобы отыскать такие , при которых левая часть равна нулю. Дальше составляется система линейных уравнений:

.

В этой системе матрица частных производных называется матрицей Якоби, в которой каждый элемент называется якобианом.

Матрицу Якоби и значение правой части системы можно использовать для любого приближенного вычисления. Решая эту систему, находим , которое подставляется в исходную, это поправка следующего значения . Если все , то конец. Если процесс не сходится, то используем относительную погрешность .

Пример 4.2.

Методом Ньютона решить систему нелинейных уравнений:




Система имеет два решения. Уточним одно из них, принадлежащее области ; .

За начальное приближение примем ; . Далее находим:

; ;

; ; ; .










































0

0.5

0.25

0.5.

2.25

-0.1052

2

-8.76

48.32

3.6612

0.0749

-0.46

0.6348

-0.6052

-2.6348

-0.3848

5

2.76

0.2436

0.0050

1

0.5749

0.3306

0.6612

2.6302

0.0222

2.2996

-8.7300

51.2357

-0.1409

-0.0027

-0.4550

0.6210

-0.6490

-2.6210

0.0092

5.1498

2.7300

1.1221

0.021

2

0.5722

0.3272

0.6544

2.6160

-0.1864

2.2888

-8.6040

50.2224

0.0483

0.0009

-0.4340

0.5652

-0.8308

-2.5652

0.0508

5.1444

2.6040

-1.9751

0.039

3

0.5731

0.3283

0.6566

2.6207

0.1666

2.2924

-8.8380

52.0079

-0.0374

-0.0007

-0.4730

0.6711

-0.4900

-2.6411

-0.0504

5.1462

2.8380

0.9728

0.0180

4

0.5724

0.3272

0.6544

2.6160

0.0054

2.2896

-8.73

51.1647

0.0290

0.0005

-0.4550

0.6210

-0.6490

-2.6210

-0.0050

5.1448

2.73

0.0490

0.0009

5

0.5729




























-0.4541
Вычисление удобно вести с помощью таблицы. Окончательно ответ: , .


4-principi-uchetnoj-politiki-otchet-o-finansovom-polozhenii-po-sostoyaniyu-za-31-dekabrya-2009-goda-5-otchet-o-pribilyah.html
4-principi-uchyotnoj-politiki-kommercheskogo-banka-novij-vek.html
4-priroda-sverhprovodimosti-energetiki.html
4-problema-nauchnoj-istini-uchebnoe-posobie-rekomendovano-ministerstvom-obshego-i-professionalnogo-obrazovaniya.html
4-problemi-idei-gipotezi-e-p-kruglyakov-otv-redaktor.html
4-procedura-i-osnovnie-harakteristiki-psihologicheskogo-eksperimenta-eksperimentalnaya-psihologiya.html
  • report.bystrickaya.ru/izdatelstvo-molodaya-gvardiya-1974-g-stranica-10.html
  • composition.bystrickaya.ru/otchet-o-vipolnenii-nir-po-teme-razrabotka-specializirovannogo-produkta-dlya-pitaniya-sportsmenov.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/vaganova-n-v-knigi-sputniki-nashej-zhizni-informacionno-metodicheskij-centr-zheleznodorozhnogo-rajona-g-ekaterinburga.html
  • lesson.bystrickaya.ru/tehnologicheskaya-karta-uroka2-didakticheskij-modul-sili-v-prirode.html
  • gramota.bystrickaya.ru/xi-prilozhenie-slovar-literatura-i-portret-stranica-4.html
  • writing.bystrickaya.ru/buhgalterskij-uchyot-i-audit-v-bankah-kurs-lekcij.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/opredelimsya-ponyatijno.html
  • pisat.bystrickaya.ru/test-kyussi-cvetovie-testi-lyushera-mozhno-projti-testirovanie-i-skachat-testi-besplatno.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/tematicheskoe-planirovanie-za-kurs-3-klass-stranica-4.html
  • knigi.bystrickaya.ru/respublikanskoj-programmi-razvitiya-konkurencii-v-chuvashskoj-respublike-na-2010-2012-godi-v-2011-godu-stranica-3.html
  • studies.bystrickaya.ru/chernishev-delo-inogo.html
  • essay.bystrickaya.ru/doklad-uchastnikov-kruzhka-kraeved.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/programma-vstrech-uchastnikov-moskovskoj-mezhdunarodnoj-knizhnoj-vistavki-yarmarki-s-rukovoditelyami-avtorami-i-sostavitelyami-knig-instituta-russkoj-civilizacii.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/viniknenya-estetiki-yak-nauki-v-seredin-hviii-st-chast-3.html
  • institute.bystrickaya.ru/filosofskie-skazki-dlya-obdumivayushih-zhite-ili-veselaya-kniga-o-svobode-i-nravstvennosti-stranica-20.html
  • esse.bystrickaya.ru/psihicheskie-poznavatelnie-processi-chast-2.html
  • books.bystrickaya.ru/ceni-na-interesuyushuyu-vas-produkciyu-mozhno-utochnit-u-menedzhera-po-mnogim-poziciyam-vam-predlozhat-minimalnie-ceni-dlya-postoyannih-klientov-eksklyuzivnie-ceni.html
  • notebook.bystrickaya.ru/i-tehnika-bezopasnosti-vo-vremya-ekspluatacii-traktora-ii-osnovnie-tehnicheskie-harakteristiki-traktorov-serii-jinma.html
  • universitet.bystrickaya.ru/testi-po-literaturnomu-chteniyu-dlya-tretego-klassa-test-1-samoe-velikoe-chudo-na-svete.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/pochemu-eto-pravo-nazivayut-administrativnim.html
  • holiday.bystrickaya.ru/o-provedenii-vserossijskih-sportivnih-igr-shkolnikov-stranica-4.html
  • literature.bystrickaya.ru/buhgalterlk-esep-shottarindai-ekzhati-zhazu-oni-mn-men-mainasi.html
  • occupation.bystrickaya.ru/nacionalnoe-obedinenie-stroitelej15-nyusmejkeri-9.html
  • turn.bystrickaya.ru/polozhenie-o-mezhregionalnom-konkurse-teatrov-detskoj-i-molodezhnoj-modi-labirinti-modi.html
  • holiday.bystrickaya.ru/na-konferencii-nauchno-pedagogicheskih-rabotnikov-predstavitelej-drugih-kategorij-rabotnikov-i-obuchayushihsya-gosudarstvennogo-obrazovatelnogo-uchrezhdeniya-visshego.html
  • thescience.bystrickaya.ru/iv-lapteva-t-g-bogolepova-kandidat-filologicheskih-nauk-professor-kafedri-istorii-zarubezhnih-literatur-dvgu.html
  • tasks.bystrickaya.ru/2-3-antropologiya-ilya-kokin-bogorodichnij-centr.html
  • knigi.bystrickaya.ru/rol-igri-v-organizacii-detskoj-zhizni-doshkolnaya-pedagogika-pod-redakciej-v-i-yadeshko-i-f-a-sohina-prosveshenie.html
  • holiday.bystrickaya.ru/nesamostoyatelnimi-gazovimi-razryadami.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/voprosi-gosudarstvennogo-itogovogo-ekzamena-po-russkomu-yaziku-i-metodike-prepodavaniya-russkogo-yazika-2009-2010-uch-god.html
  • testyi.bystrickaya.ru/avtori-avkostrov-avstrikovskij-dvyanin-vezagajnov-savasenin-v-doklad-prezidenta-ran.html
  • holiday.bystrickaya.ru/nazvanie-disciplini-dlya-studentov-ii-kursa-201112-uchebnogo-goda-specialnost-stomatologiya.html
  • crib.bystrickaya.ru/kandidata-na-dolzhnost-rektora.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/poyasnitelnaya-zapiska-rabochaya-programma-disciplini-osnovi-pediatrii-i-gigieni-detej-rannego-i-doshkolnogo-vozrasta.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-8-osnovi-ekskursionnoj-deyatelnosti-rekomendacii-vto-po-sozdaniyu-edinoj-sistemi-v-statistike-turizma-30-glava-4-37.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.