.RU

А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С А(В С) = (А В) С = А В С - Краткий курс математического анализа в лекционном...


^ А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С А(В С) = (А В) С = А В С Дистрибутивность операции сложения относительно умножения


А (В + С) = А В + А С Дистрибутивность операции умножения относительно сложения


^ А + (В С) = (А + В)(А + С)
Пример. Вычислим (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC.

В самом деле, BAA, ACA, AA=A, тогда AA+BA=A, A+AC=A.
Правило двойственности (теорема де Моргана)


Для всякого сложного события, выраженного через сумму и произведение (даже счетного количества) событий, противоположное событие может быть получено путем замены событий им противоположными и замены знака произведения на знак суммы, а знака суммы на знак произведения, при оставлении порядка операций неизменным



Пример.


Алгебра событий.


Пусть  - пространство элементарных событий. Алгеброй событий S называется такая система случайных событий S, что

  1. ^ S, 2)  A, B  S  A+BS, ABS, A\BS.


Следствие = \  S


Пусть  содержит конечное число элементов, = {1,…n}. Тогда алгебру S можно построить как множество всех подмножеств .

S={, {1}, … {n}, {1,2}, …{1,n}, …{n-1,n}, …{1, …,n}}, в ней всего 2n элементов

Аналогично стоится алгебра для счетного числа событий.

Если в результате опыта стало известно, произошли или нет события A, B, то можно заключить, произошли или нет события , A+B, AB, A\B, поэтому события должны выбираться из определенного класса – алгебры событий.

Для бесконечного (не счетного) числа событий класс событий должен быть сужен. Вводится - алгебра событий.

^ Сигма-алгеброй (-алгеброй) событий  называется непустая система подмножеств пространства элементарных событий, такая что

  1. A,

2) A1, A2, …An, …( A1+A2+ …+An+, …), ….


Любая сигма-алгебра событий является алгеброй событий, но не наоборот.


Вероятность.


Классическое определение вероятности события

В классическом определении вероятности исходят из того, что пространство элементарных событий Ω содержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможные.

Случаями называются равновозможные, несовместные события, составляющие полную группу.

В классическом определении вероятности мы находимся в рамках схемы случаев в том смысле, что элементарные события равновозможны, т.е. представляют собой случаи.

Пусть ^ N – общее число случаев в Ω, а NА – число случаев, образующих событие А (или, как говорят, благоприятствующих событию А).

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа NA случаев, благоприятствующих событию А к общему числу N случаев, т.е. P(A) = . Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности.

^ Примеры. 1. Бросание игральной кости. Ω = 1, 2,…,6 N = 6.

А – количество очков кратно трем А = 3,6 NA = 2.

.


2. Бросание 2-х игральных костей. Ω = 11, 12,…,66; N =36.

kl = (ak, bl), k,l =

А – сумма цифр (очков) равна 5. А = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; NA = 4

.

3. В урне а белых и b черных шаров. Опыт – вынимается один шар.

А – шар черный.



Исходя из классического определения вероятностей, легко доказать свойства вероятности:

1) Р(Ω) = 1 (NA = N);

2) 0 ( 0;

3) Если А В = Ø, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) ( NA+B=NA+NB)

и их следствия

4) Р(Ø) = 0 (NØ) = 0;

5) Р() = 1- Р(А) ( = Ø, Р(А) + Р() = 1);

6) Если , то Р(А) Р(В) (NA NB).

При практическом применении формулы классической вероятности наиболее сложным является определение общего числа равновозможных исходов и числа благоприятствующих исходов.

Здесь используется основной принцип комбинаторики: пусть некоторая операция Р представляет собой последовательность n операций Pk (k=1, …n), каждая из которых может быть выполнена mr способами. Тогда операция Р может быть выполнена способами.

Пусть мы делаем выборку поочередно m элементов (например, шаров) из n элементов. Мы можем возвращать очередной шар (в число n шаров), тогда при каждом очередном выборе мы будем иметь все те же n шаров. Такая выборка называется выборкой с возвращением. А можем и не возвращать шар, тогда при каждом выборе мы будем выбирать из все меньшего числа шаров. Такая выборка называется выборкой без возвращения. С другой стороны, мы можем учитывать порядок появления шаров. Такая выборка называется упорядоченной или размещением из n шаров по m шаров. Если порядок шаров при выборе не учитывается, важно лишь, какие шары выбраны, но не важно, в каком порядке, то такая выборка называется неупорядоченной или сочетанием из n шаров по m шаров. Выясним, сколькими способами можно произвести ту или иную выборку





Сочетания

Размещения

Без возвращения





С возвращением






Формулы для размещений легко получаются из принципа комбинаторики. Для того, чтобы перейти от размещений (без возвращений) к сочетаниям (без возвращений), нужно упорядочить выборки, т.е. исключить те из них, которые отличаются только порядком элементов. Выборки, отличающиеся только порядком элементов, называются перестановками. Число перестановок из m элементов равно Pm==m!. Поэтому .

Формулу для сочетаний с возвращением примем без доказательства (ее доказательство приведено в вып. ХV1 на стр. 50 – 51).


Пример. Производится выборка двух шаров (m=2) из урны, в которой находится 3 шара (n=3). Приведем эти выборки.

  1. Размещения с возвращением

(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) = 32 = 9.

  1. Размещения (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) .

  2. Сочетания с возвращением (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)

  3. Сочетания (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,3) .

Пример. ^ Задача о выборке бракованных деталей.

В партии из N одинаковых деталей M бракованных. Выбирается (не возвращая) n деталей. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно m бракованных?

Общее количество случаев (сочетания из N деталей по n) равно . Мы выбираем m бракованных деталей среди M бракованных, но и одновременно выбираем (n-m) деталей без брака среди N-M деталей без брака. Тогда, по основному принципу комбинаторики, такому выбору благоприятствует случаев. Поэтому искомая вероятность равна .

^ Геометрическая вероятность
Формула классической вероятности применяется только в схеме случаев, что встречается довольно редко. Отношение Р(А)= NA/N представляет собой «долю» благоприятных исходов среди всех возможных исходов. Аналогичным образом подсчитывают вероятность события в некоторых более сложных случаях, когда имеется бесконечное число равновозможных исходов.



Событие А – волчок касается плоскости точкой из окрашенного сектора.

Множество точек на ободе в окрашенном секторе имеет мощность континуума. Делим всю окружность на N маленьких одинаковых дуг. Число дуг на окружности, принадлежащих окрашенному сектору, пусть равно NA.

.

В общем случае имеется мера mes соответствующая (в нашем случае mes= 2) и мера mes А, соответствующая А (в нашем случае mesА = )

и т.д.



Пример. Задача о встрече. Два студента договорились встретиться от 10 до 11 часов на определенном месте, причем первый пришедший на место ждет товарища 15 минут и уходит. Какова вероятность встречи?

Выберем начало системы координат в точке (10, 10). Отложим по осям системы координат x- время прихода первого студента, y – время прихода второго студента.


Тогда множество |x-y|<1/4, 0 ^ содержит точки (события) встречи студентов. Его мера (площадь) mesA равна 1- (3/4)2 = 7/16. Так как mes =1, то P(A) = 7/16.


Статистическая вероятность


Формулы классической вероятности и геометрической вероятности справедливы только для случая равновозможных исходов. В действительности мы на практике имеем место с неравновозможными исходами. В этих случаях можно определить вероятность случайного события, используя понятие частоты события. Допустим, что нам требуется определить вероятность того, что в испытании произойдет событие А. Для этого в одинаковых условиях проводятся испытания, в каждом из которых возможны два исхода: А и . Частотой события А будем называть отношение числа NA испытаний, в которых зафиксировано событие А к общему числу N испытаний.

Вероятностью события А называется предел частоты события А при неограниченном увеличении числа испытаний n, т.е. . Так определяется статистическая вероятность события.


Заметим, что по классическому, геометрическому и статистическому определениям для вероятности события P(A) выполнены три основных свойства:

P(A)0, 2) P()=1, 3) P(A1+ …+An) = P(A1) + …+P(An), если A1, An попарно несовместны. Однако в этих определениях элементарные события предполагаются равновозможными.

А.Н. Колмогоров отказался от предположения равновозможности элементарных событий, ввел сигма-алгебру событий и распространил третье свойство на счетное число событий. Это дало возможность дать аксиоматическое определение вероятности события.


^ Аксиоматическое определение вероятности (по А.Н.Колмогорову).


Вероятностью P(A) называется числовая функция, заданная на сигма – алгебре событий, удовлетворяющая трем аксиомам:

  1. не отрицательность P(A)0, A - сигма – алгебре событий на 

  2. нормировка P() = 1

  3. расширенная аксиома сложения: для любых попарно несовместных событий A1, … An … выполнено

P(A1+ …+An+ …) = P(A1) + …+P(An) +…

(счетная аддитивность).

Итак, по А.Н. Колмогорову вероятность (вероятностная мера) это числовая неотрицательная нормированная счетно - аддитивная функция (множества – события), заданная на сигма – алгебре событий.

Если  состоит из конечного или счетного числа событий, то в качестве сигма – алгебры  может рассматриваться алгебра S событий. Тогда по аксиоме 3 вероятность любого события A равна сумме вероятностей элементарных событий, составляющих A.

^ Вероятностным пространством называется тройка (, , P).

65-sudebnie-ekspertizi-veshestv-materialov-i-izdelij-kniga-sudi-sudebnaya-ekspertiza-prospekt.html
65-svyazi-s-predpriyatiyami-nauchnimi-centrami-2-srednyaya-zarabotnaya-plata-po-kategoriyam-sotrudnikov-v-sravnenii-s-predidushim-godom.html
65-tipi-orientirovochnoj-osnovi-dejstvij-uchebnoe-posobie-dlya-studentov-srednih-pedagogicheskih-uchebnih-zavedenij.html
65-trebovaniya-k-organizacii-praktik-registracionnij-nomer-313-sbak.html
65-uchet-materialno-proizvodstvennih-zapasov-mpz-reshenie-soveta-deputatov-g-p-bolshie-vyazemi-odincovskogo.html
65-upravlenie-predpriyatiyami-organizaciya-proizvodstva-torgovli-i-transporta.html
  • education.bystrickaya.ru/1-opisanie-na-navigaciyata-vvedenie.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/hitroumnij-idalgo-don-kihot-lamanchskij-el-ingenioso-hidalgo-don-quijote-de-la-mancha.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/razdel-iv-rabochee-vremya-metodicheskie-materiali-8-avtorskij-kollektiv-hudoleev-a-n-suhovejko-g-s-goryajnova.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/programma-uchebnoj-disciplini-teoriya-i-praktika-strategicheskogo-upravleniya-dlya-magistrov-po-napravleniyu-podgotovki-gosudarstvennoe-i-municipalnoe-upravlenie.html
  • uchit.bystrickaya.ru/tekushie-razmishleniya-o-shizofrenii-okrashennij-chuvstvom-kompleks-i-ego-obshee-vozdejstvie-na-psihicheskoe-a-ostroe.html
  • urok.bystrickaya.ru/programma-disciplini-opd-f-12-specialnaya-pedagogika-celi-i-zadachi-disciplini-cel-kursa.html
  • urok.bystrickaya.ru/prilozhenie-2-raschet-uchastvuyushej-vo-vzrive-massi-veshestva-i-radiusov-zon-razrushenij.html
  • institut.bystrickaya.ru/statya-29-poryadok-provedeniya-aukciona-polozhenie-o-zakupkah-tovarov-rabot-uslug-dlya-nuzhd-oao-mgkl-mosgorlombard.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-raduzhnoj-strani-upravlenie-obrazovatelnim-uchrezhdeniem-socialnoe-partnyorstvo.html
  • klass.bystrickaya.ru/amerikanskij-pragmatizm-ch-pirs-u-dzhems-dzh-dyui-rol-antichnoj-filosofii-v-stanovlenii-nauchnoj-racionalnosti.html
  • books.bystrickaya.ru/doklad-o-sostoyanii-i-ispolzovanii-zemel-v-respublike-severnaya-osetiya-alaniya-v-2009-godu.html
  • report.bystrickaya.ru/k-bahutov-mediko-topografiya-i-sanitarnoe-sostoyanie-gubernskogo-goroda-stavropolya-stranica-12.html
  • lesson.bystrickaya.ru/tematicheskoe-planirovanie-tehnologiya-1-klass-1-chas-v-nedelyu-obrazovatelnaya-programma-nachalnogo-obshego-obrazovaniya.html
  • control.bystrickaya.ru/biologicheskaya-prelyudiya-diskurs-radikalnogo-konstruktivizma-tradicii-skepticizma-v-sovremennoj-filosofii-i-teorii-poznaniya.html
  • desk.bystrickaya.ru/otchet-po-nauchno-issledovatelskoj-rabote-studencheskogo-kruzhka-garmoniya.html
  • essay.bystrickaya.ru/bukusheva-aliya-vladimirovna-proektirovanie-i-realizaciya-sistemi-logicheskoj-podgotovki-budushego-informatika-yurista.html
  • notebook.bystrickaya.ru/gotichne-rozumnnya-krasi-chast-3.html
  • grade.bystrickaya.ru/metodicheskie-ukazaniya-i-kontrolnie-zadaniya-dlya-studentov-1-kursa-zheleznodorozhnih-specialnostej-zaochnoj-formi-obucheniya-stranica-3.html
  • credit.bystrickaya.ru/osnovnie-pravila-dlya-sostavitelya-pisem-grundregeln-fr-den-briefschreiber.html
  • institut.bystrickaya.ru/uchebnaya-programma-po-discipline-istoriya-filosofiya-i-metodologiya-tehnicheskih-nauk-dlya-prepodavatelej-visshej-shkoli-omsk-200.html
  • uchit.bystrickaya.ru/taktiko-specialnaya-podgotovka-programma-razrabotana-departamentom-podgotovki-vojsk-grazhdanskoj-oboroni-i-drugih.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/krizis-mishleniya-via-madonna-del-riposo-89-roma.html
  • laboratory.bystrickaya.ru/zemnaya-kora-formirovanie-relefa-i-osnovnie-principi-tektoniki.html
  • credit.bystrickaya.ru/otkritie-sorevnovaniya-bolshaya-lvovskaya-ohota-klubnij-chempionat-ukraini-uchastvuyut-komandi-klubov-gorodov-dyustsh-oblastej.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-iii-sinergeticheskaya-filosofiya-istorii-i-zakonomernostej-vihoda-iz-haosa.html
  • essay.bystrickaya.ru/chuzhie-na-svyazi-komsomolskaya-pravda-vladimirov-sergej-16062006-86-str-7.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-2-obshie-principi-standartizacii-metodicheskie-rekomendacii-v-oblasti-ozdorovitelnogo-funkcionalnogo.html
  • znanie.bystrickaya.ru/avgustinizm-l-i-vasilenko-kratkij-religiozno-filosofskij-slovar.html
  • teacher.bystrickaya.ru/glava-2-znachenie-professii-yurista-v-obshestve-uchebno-metodicheskij-kompleks-utverzhdayu-zaveduyushij-kafedroj-32-prof.html
  • university.bystrickaya.ru/fakultet-socialno-gumanitarnij-kafedra-socialno-gumanitarnih-disciplin.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/resheniem-obshego-sobraniya-chlenov-stranica-2.html
  • education.bystrickaya.ru/143-svobodnie-volni-kratkoe-obzorno-spravochnoe-posobie-kniga-yavlyaetsya-pervim-v-svoyom-rode-obzorno-spravochnim.html
  • letter.bystrickaya.ru/nauchnie-shkoli-mezhdunarodnie-otnosheniya-stranica-6.html
  • writing.bystrickaya.ru/glava-6-stiven-king-nesushij-smert-1990.html
  • control.bystrickaya.ru/boris-lvovich-vasilev-stranica-13.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.