.RU

А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С А(В С) = (А В) С = А В С - Краткий курс математического анализа в лекционном...


^ А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С А(В С) = (А В) С = А В С Дистрибутивность операции сложения относительно умножения


А (В + С) = А В + А С Дистрибутивность операции умножения относительно сложения


^ А + (В С) = (А + В)(А + С)
Пример. Вычислим (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC.

В самом деле, BAA, ACA, AA=A, тогда AA+BA=A, A+AC=A.
Правило двойственности (теорема де Моргана)


Для всякого сложного события, выраженного через сумму и произведение (даже счетного количества) событий, противоположное событие может быть получено путем замены событий им противоположными и замены знака произведения на знак суммы, а знака суммы на знак произведения, при оставлении порядка операций неизменным



Пример.


Алгебра событий.


Пусть  - пространство элементарных событий. Алгеброй событий S называется такая система случайных событий S, что

  1. ^ S, 2)  A, B  S  A+BS, ABS, A\BS.


Следствие = \  S


Пусть  содержит конечное число элементов, = {1,…n}. Тогда алгебру S можно построить как множество всех подмножеств .

S={, {1}, … {n}, {1,2}, …{1,n}, …{n-1,n}, …{1, …,n}}, в ней всего 2n элементов

Аналогично стоится алгебра для счетного числа событий.

Если в результате опыта стало известно, произошли или нет события A, B, то можно заключить, произошли или нет события , A+B, AB, A\B, поэтому события должны выбираться из определенного класса – алгебры событий.

Для бесконечного (не счетного) числа событий класс событий должен быть сужен. Вводится - алгебра событий.

^ Сигма-алгеброй (-алгеброй) событий  называется непустая система подмножеств пространства элементарных событий, такая что

  1. A,

2) A1, A2, …An, …( A1+A2+ …+An+, …), ….


Любая сигма-алгебра событий является алгеброй событий, но не наоборот.


Вероятность.


Классическое определение вероятности события

В классическом определении вероятности исходят из того, что пространство элементарных событий Ω содержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможные.

Случаями называются равновозможные, несовместные события, составляющие полную группу.

В классическом определении вероятности мы находимся в рамках схемы случаев в том смысле, что элементарные события равновозможны, т.е. представляют собой случаи.

Пусть ^ N – общее число случаев в Ω, а NА – число случаев, образующих событие А (или, как говорят, благоприятствующих событию А).

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа NA случаев, благоприятствующих событию А к общему числу N случаев, т.е. P(A) = . Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности.

^ Примеры. 1. Бросание игральной кости. Ω = 1, 2,…,6 N = 6.

А – количество очков кратно трем А = 3,6 NA = 2.

.


2. Бросание 2-х игральных костей. Ω = 11, 12,…,66; N =36.

kl = (ak, bl), k,l =

А – сумма цифр (очков) равна 5. А = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; NA = 4

.

3. В урне а белых и b черных шаров. Опыт – вынимается один шар.

А – шар черный.



Исходя из классического определения вероятностей, легко доказать свойства вероятности:

1) Р(Ω) = 1 (NA = N);

2) 0 ( 0;

3) Если А В = Ø, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) ( NA+B=NA+NB)

и их следствия

4) Р(Ø) = 0 (NØ) = 0;

5) Р() = 1- Р(А) ( = Ø, Р(А) + Р() = 1);

6) Если , то Р(А) Р(В) (NA NB).

При практическом применении формулы классической вероятности наиболее сложным является определение общего числа равновозможных исходов и числа благоприятствующих исходов.

Здесь используется основной принцип комбинаторики: пусть некоторая операция Р представляет собой последовательность n операций Pk (k=1, …n), каждая из которых может быть выполнена mr способами. Тогда операция Р может быть выполнена способами.

Пусть мы делаем выборку поочередно m элементов (например, шаров) из n элементов. Мы можем возвращать очередной шар (в число n шаров), тогда при каждом очередном выборе мы будем иметь все те же n шаров. Такая выборка называется выборкой с возвращением. А можем и не возвращать шар, тогда при каждом выборе мы будем выбирать из все меньшего числа шаров. Такая выборка называется выборкой без возвращения. С другой стороны, мы можем учитывать порядок появления шаров. Такая выборка называется упорядоченной или размещением из n шаров по m шаров. Если порядок шаров при выборе не учитывается, важно лишь, какие шары выбраны, но не важно, в каком порядке, то такая выборка называется неупорядоченной или сочетанием из n шаров по m шаров. Выясним, сколькими способами можно произвести ту или иную выборку





Сочетания

Размещения

Без возвращения





С возвращением






Формулы для размещений легко получаются из принципа комбинаторики. Для того, чтобы перейти от размещений (без возвращений) к сочетаниям (без возвращений), нужно упорядочить выборки, т.е. исключить те из них, которые отличаются только порядком элементов. Выборки, отличающиеся только порядком элементов, называются перестановками. Число перестановок из m элементов равно Pm==m!. Поэтому .

Формулу для сочетаний с возвращением примем без доказательства (ее доказательство приведено в вып. ХV1 на стр. 50 – 51).


Пример. Производится выборка двух шаров (m=2) из урны, в которой находится 3 шара (n=3). Приведем эти выборки.

  1. Размещения с возвращением

(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) = 32 = 9.

  1. Размещения (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) .

  2. Сочетания с возвращением (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)

  3. Сочетания (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,3) .

Пример. ^ Задача о выборке бракованных деталей.

В партии из N одинаковых деталей M бракованных. Выбирается (не возвращая) n деталей. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно m бракованных?

Общее количество случаев (сочетания из N деталей по n) равно . Мы выбираем m бракованных деталей среди M бракованных, но и одновременно выбираем (n-m) деталей без брака среди N-M деталей без брака. Тогда, по основному принципу комбинаторики, такому выбору благоприятствует случаев. Поэтому искомая вероятность равна .

^ Геометрическая вероятность
Формула классической вероятности применяется только в схеме случаев, что встречается довольно редко. Отношение Р(А)= NA/N представляет собой «долю» благоприятных исходов среди всех возможных исходов. Аналогичным образом подсчитывают вероятность события в некоторых более сложных случаях, когда имеется бесконечное число равновозможных исходов.



Событие А – волчок касается плоскости точкой из окрашенного сектора.

Множество точек на ободе в окрашенном секторе имеет мощность континуума. Делим всю окружность на N маленьких одинаковых дуг. Число дуг на окружности, принадлежащих окрашенному сектору, пусть равно NA.

.

В общем случае имеется мера mes соответствующая (в нашем случае mes= 2) и мера mes А, соответствующая А (в нашем случае mesА = )

и т.д.



Пример. Задача о встрече. Два студента договорились встретиться от 10 до 11 часов на определенном месте, причем первый пришедший на место ждет товарища 15 минут и уходит. Какова вероятность встречи?

Выберем начало системы координат в точке (10, 10). Отложим по осям системы координат x- время прихода первого студента, y – время прихода второго студента.


Тогда множество |x-y|<1/4, 0 ^ содержит точки (события) встречи студентов. Его мера (площадь) mesA равна 1- (3/4)2 = 7/16. Так как mes =1, то P(A) = 7/16.


Статистическая вероятность


Формулы классической вероятности и геометрической вероятности справедливы только для случая равновозможных исходов. В действительности мы на практике имеем место с неравновозможными исходами. В этих случаях можно определить вероятность случайного события, используя понятие частоты события. Допустим, что нам требуется определить вероятность того, что в испытании произойдет событие А. Для этого в одинаковых условиях проводятся испытания, в каждом из которых возможны два исхода: А и . Частотой события А будем называть отношение числа NA испытаний, в которых зафиксировано событие А к общему числу N испытаний.

Вероятностью события А называется предел частоты события А при неограниченном увеличении числа испытаний n, т.е. . Так определяется статистическая вероятность события.


Заметим, что по классическому, геометрическому и статистическому определениям для вероятности события P(A) выполнены три основных свойства:

P(A)0, 2) P()=1, 3) P(A1+ …+An) = P(A1) + …+P(An), если A1, An попарно несовместны. Однако в этих определениях элементарные события предполагаются равновозможными.

А.Н. Колмогоров отказался от предположения равновозможности элементарных событий, ввел сигма-алгебру событий и распространил третье свойство на счетное число событий. Это дало возможность дать аксиоматическое определение вероятности события.


^ Аксиоматическое определение вероятности (по А.Н.Колмогорову).


Вероятностью P(A) называется числовая функция, заданная на сигма – алгебре событий, удовлетворяющая трем аксиомам:

  1. не отрицательность P(A)0, A - сигма – алгебре событий на 

  2. нормировка P() = 1

  3. расширенная аксиома сложения: для любых попарно несовместных событий A1, … An … выполнено

P(A1+ …+An+ …) = P(A1) + …+P(An) +…

(счетная аддитивность).

Итак, по А.Н. Колмогорову вероятность (вероятностная мера) это числовая неотрицательная нормированная счетно - аддитивная функция (множества – события), заданная на сигма – алгебре событий.

Если  состоит из конечного или счетного числа событий, то в качестве сигма – алгебры  может рассматриваться алгебра S событий. Тогда по аксиоме 3 вероятность любого события A равна сумме вероятностей элементарных событий, составляющих A.

^ Вероятностным пространством называется тройка (, , P).

65-sudebnie-ekspertizi-veshestv-materialov-i-izdelij-kniga-sudi-sudebnaya-ekspertiza-prospekt.html
65-svyazi-s-predpriyatiyami-nauchnimi-centrami-2-srednyaya-zarabotnaya-plata-po-kategoriyam-sotrudnikov-v-sravnenii-s-predidushim-godom.html
65-tipi-orientirovochnoj-osnovi-dejstvij-uchebnoe-posobie-dlya-studentov-srednih-pedagogicheskih-uchebnih-zavedenij.html
65-trebovaniya-k-organizacii-praktik-registracionnij-nomer-313-sbak.html
65-uchet-materialno-proizvodstvennih-zapasov-mpz-reshenie-soveta-deputatov-g-p-bolshie-vyazemi-odincovskogo.html
65-upravlenie-predpriyatiyami-organizaciya-proizvodstva-torgovli-i-transporta.html
  • lesson.bystrickaya.ru/token-ring-ii-podklyuchenie-setevih-komponentov-7.html
  • grade.bystrickaya.ru/novosti-oao-dek-monitoring-sredstv-massovoj-informacii-16-fevralya-2011-goda.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/4-principi-prava-v-d-popkov-doktor-yuridicheskih-nauk-professor.html
  • thescience.bystrickaya.ru/gosudarstvennaya-grazhdanskaya-sluzhba-chast-2.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/2-ceni-po-kontraktu-i-obshaya-stoimost-kontrakta.html
  • lecture.bystrickaya.ru/association-of-voluntary-service-organizations-programmi-razvitiya-dobrovolcheskih-iniciativ-dobrovolcheskie-iniciativi.html
  • desk.bystrickaya.ru/polozhenie-ob-obektovom-zvene-preduprezhdeniya-i-likvidacii-chrezvichajnih-situacij-rschs-i-grazhdanskoj-oboroni-go.html
  • urok.bystrickaya.ru/programma-konferencii-19-iyunya-2012-goda-10-00-10-30.html
  • nauka.bystrickaya.ru/vozmozhnosti-ispolzovaniya-elektronnih-tablic-v-prepodavanii-mikroekonomiki.html
  • gramota.bystrickaya.ru/vsovetskoe-vremya-k-filippikam-v-adres-burzhuaznih-falsifikatorov-istorii-vtoroj-mirovoj-v-nashej-strane-otnosilis-s-izryadnim-skepsisom-mi-bili-vospitani-v-u-stranica-2.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/obshestvoznanie-otveti-na-ekzamenacionnie-bileti-dlya-8-klassa.html
  • knigi.bystrickaya.ru/skazka-kak-lekarstvo-stranica-16.html
  • university.bystrickaya.ru/gorodskoj-konkurs-socialnoj-ekologicheskoj-reklami-mi-za-chistij-gorod-diplom-pobeditelya-reutova-o-n.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/programma-vstupitelnogo-ekzamena-v-aspiranturu-po-inostrannomu-yaziku-anglijskomu-nemeckomu.html
  • bukva.bystrickaya.ru/torgovelno-promislova-palata-zovnshnoekonomchna-poltika-ukrani.html
  • thesis.bystrickaya.ru/prilozhenie-e-analiticheskij-otchet-po-praktike-16.html
  • knigi.bystrickaya.ru/rossiya-pod-vlastyu-masonov-moskva.html
  • doklad.bystrickaya.ru/v-nestajko-vstrane-solnechnih-zajchikov.html
  • universitet.bystrickaya.ru/spravochnoe-posobie-dlya-nachinayushih-korotkovolnovikov-izdanie-3-e-pererabotannoe-i-dopolnennoe-stranica-8.html
  • composition.bystrickaya.ru/orenburg-v-godi-velikoj-otechestvennoj-vojni-v-a-melnikov-kandidat-pedagogicheskih-nauk-n-m-proshina-kandidat.html
  • lesson.bystrickaya.ru/programmirovanie-dlya-matematikov.html
  • college.bystrickaya.ru/31-upravlenie-vnutrennih-del-leningradskoj-oblasti-v-techenie-30-let-zanimavshego-rukovodyashie-posti-v-organah-gosudarstvennoj.html
  • holiday.bystrickaya.ru/myasokombinat-reestr-licenzirovaniya-mchs-rossii-za-period-s-01-07-2002-g-po.html
  • knigi.bystrickaya.ru/regonalnij-rozvitok-centralno-ukranskogo-ekonomchnogo-rajonu.html
  • desk.bystrickaya.ru/plan-diplomnoj-raboti-vvedenie-1-analiz-otechestvennih-proizvoditelej-akkumulyatorov-i-batarej-v-rossii-4-2-analiz-dejstvuyushej-na-ooo-kza-sistemi.html
  • university.bystrickaya.ru/goryachaya-liniya-mchs-prinimaet-soobsheniya-o-gazovih-ballonah-v-restoranah-informacionnoe-agentstvo-baltijskoe-informacionnoe-agentstvo-15032012.html
  • doklad.bystrickaya.ru/v-poiskah-sovi-birdwaching-4-dnya-vidi-aktivnogo-otdiha-na-urale.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/komitet-po-obrazovaniyu-dokumentaciya-dlya-provedeniya-podbora-organizacij-otdiha-i-ozdorovleniya-detej-i-molodezhi-sankt-peterburga-v-2012-godu.html
  • student.bystrickaya.ru/2-metodicheskie-rekomendacii-po-vospitatelnoj-rabochaya-programa-po-discipline-sociologiya-dlya-specialnostej-260100.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/referat-po-himii.html
  • control.bystrickaya.ru/elektrodinamika-i-rasprostranenie-radiovoln-i-kvantovie.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/26-dejstviya-dsp-pri-poluchenii-informacii-ot-mashinista-poezda-ob-izlome-relsa-ili-razrive-stika.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/razdeli-disciplin-i-vidi-zanyatij-programma-naimenovanie-disciplini-socialno-ekonomicheskaya-statistika.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/rasporyazhenie-glavi-administracii-goroda-o-provedenii-aukcionov-na-pravo-zaklyucheniya-dogovorov-v-otnoshenii-municipalnogo-imushestva-ot-26-yanvarya-2009-goda-23-r-forma-torgov.html
  • grade.bystrickaya.ru/missionersko-katehizatorskie-kursi-moskovskoj-eparhii-orehovo-zuevskij-kust.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.